Aufgaben


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“Blauwal”

Modell eines Blauwals

Die folgende Abbildung zeigt den Längsschnitt durch das Modell eines Blauwals.Eine Längeneinheit beträgt 1 Meter in der Wirklichkeit.

my image

\(\\[1em]\)

Die obere Begrenzung inklusive Flosse wird durch den Graphen der Funktion \(f\) mit

\( \quad f(x) \; = \; \frac{1}{25000} x^4 - \frac{3}{2500} x^3 - \frac{1}{200} x^2 + \frac{1}{2} x + 7 \)

\(\\\) im Intervall [0 ; 29] beschrieben.

Die untere Begrenzung wird im Intervall [0 ; 25] durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(g\) vierten Grades modelliert. Der Graph von \(g\) verläuft durch die Punkte \(A( 0 | 7)\), \(B \left( 10 | \frac{19}{4} \right)\) und \(C( 25 | 7)\). Seine Tangente an der Stelle \(x=7{,}5\) ist waagerecht. Im Punkt \(C\) erfolgt ein knickfreier Anschluss an den Graphen von \(f\).

\(\\\)

  1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\).

\( \qquad \Big[\textrm{Zur Kontrolle: } \; g(x) \; = \; \frac{1}{50000} x^4 - \frac{11}{5000} x^3 + \frac{29}{400} x^2 - \frac{3}{4} x + 7 \Big]\)

(7 P)

\(\\\)

  1. Für jedes \(x\) aus dem Intervall [0 ; 25] wird die Dicke des Längsschnitts durch die Differenz der Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an dieser Stelle \(x\) beschrieben.
    Berechnen Sie die maximale Dicke des Längsschnitts.

    (6 P)

\(\\[2em]\)

Wachstum eines Blauwals

Ein Blauwal ist bei der Geburt \(6 \; m\) lang. Seine Wachstumsrate wird modelliert durch die Funktion \(w\) mit

\( \quad w(x) \; = \; \frac{120 \cdot e^{0{,}9(x-5)}}{\left(e^{0{,}9(x-5)} + 6 \right)^2} \)

\(\\\) Dabei steht \(x\) für die Zeit in Jahren seit der Geburt und \(w(x)\) für den Längenzuwachs in Meter pro Jahr.

\(\\[1em]\)

  1. Ermitteln Sie die Körperlänge des Blauwals nacht acht Jahren.

    (2 P)

\(\\\)

  1. Zeigen Sie, dass ein Blauwal, dessen Wachstumsrate durch die Funktion \(w\) modelliert wird, immer weiter wachsen würde, aber eine Körperlänge von \(29 \; m\) nie erreichen könnte.

    (4 P)

\(\\\)

  1. Ein Blauwal ist nach diesem Modell ausgewachsen, wenn er eine Körperlänge von \(27{,}6 \; m\) erreicht hat. Bestimmen Sie das Alter, ab dem der Blauwal ausgewachsen ist.

    (3 P)

\(\\[2em]\)

Funktionenschar

Die Funktion \(w\) ist in der Schar \(w_k\) mit

\( \quad w_k(x) \; = \; \frac{120 \cdot e^{k \cdot (x-5)}}{\left(e^{k \cdot (x-5)} + 6 \right)^2} \)

\(\\\) mit \(k>0\) enthalten. Die folgendeAbbildung zeigt die Graphen von \(w_1\), \(w_{\frac{1}{2}}\) und \(w_{\frac{1}{3}}\).

my image

\(\\\)

  1. Beschreiben Sie anhand der dargestellten Graphen den Einfluss des Parameters \(k\) auf die Koordinaten des Hochpunktes und auf den \(y\)-Achsenabschnitt.

    (3 P)

\(\\\)

  1. Zeigen Sie, dass der Hochpunkt \(P\left(5 | \frac{120}{49}\right)\) für alle \(k>0\) auf dem Graphen von \(w_k\) liegt. Weisen Sie nach, das \(P\) für kein \(k>0\) ein Wendepunkt sein kann.

    (5 P)

\(\\\)

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Hochpunkte der Graphen von \(w_k\) auf einer Geraden liegen. Bestimmen Sie einen Wert für \(k\), so dass \(w_k\) an der Stelle \(x=6\) ein lokales Maximum annimmt.

    (6 P)

\(\\\)

  1. Jeder Graph der Funktionsschar \(w_k\) ist symmetrisch zu einer Parallelen zur \(y\)-Achse durch den Punkt \(Q\left(5 + \frac{ln(6)}{k} | 0\right)\). Der Punkt \(P\left(5 | \frac{120}{49}\right)\) besitzt somit auf jedem Funktionsgraphen einen Spiegelpunkt \(P_k'\). Die Punkte \(P'\), \(Q_k\) und \(P_k'\) bilden die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Parameter \(k\) so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks genau \(1\) beträgt.

    (4 P)

\(\\\)